这是张宇《基础30讲》第 18 讲的例 18.3（P502）：区域是单位球，被积函数里有平方项。你草稿上的打法——先用对称性把三个平方项合并，再换球坐标—— 完全正确，唯一卡住的地方是定限：球坐标里从原点出发的那条线段，为什么走到 1 就必须停。 下面这张图可以动手拖：把点拖出球面，你就知道 1 是从哪来的了。
设区域由下面的条件给出，求三重积分：
图中红点是空间里任意一点，它的位置由三个量决定：到原点的距离、与竖直轴的夹角、在水平面内转过的角度。 拖动滑块改变这三个量——特别注意把红色的距离滑块拖过 1，看红点会跑到哪里去。视角可以拖动旋转，滚轮或双指缩放。
球坐标里的第一个量 r，量的不是横坐标、不是高度， 就是这个点到原点的距离本身。而区域的条件，写的正是“到原点的距离不超过 1”—— 因为下面这串等式里，左边那一坨平方和，恰好就等于距离的平方：
所以区域条件换成球坐标，一步就能改写完：
几何上更直观：固定任意一个方向，从原点沿这个方向往外走，走过的距离就是 r。 走到 r 等于 1 时，正好撞上球面；再往外走，点就离开区域了。 积分要把区域里的点一个不漏地取遍，又不能取到区域外面去，所以这条线段必须从 0 走到 1 就停。
再想一层：上限为什么是个常数，而不是像上次那道圆盘题那样随角度变？ 因为那道题的边界圆不以原点为圆心，不同方向撞上边界的距离各不相同，上限只好跟着角度走。 这道题的球面以原点为球心，无论朝哪个方向走，撞上球面的距离都恰好是 1，上限自然是常数 1。
这是过原点的任意一个剖面：三维里的球面，剖开就是这个圆。里面的小圈是“到原点距离相等”的点构成的面， 积分扫距离的过程，就是这些圈从中心一层层涨大，直到涨到最外圈为止——涨到 1，区域正好取完。
定限的口诀：球坐标里给距离定限，先别背范围，先问一句—— 沿每个方向，从原点走到区域边界有多远？ 走多远，上限就写多远。这道题每个方向都是 1；换成半径为 2 的球，每个方向都是 2，上限就写 2。
三个范围的来历各不相同：一个是被区域边界卡住的，另外两个是“扫一遍正好不重不漏”决定的。每一行右边的按钮可以回到上面的图里播放对应的扫掠。
你草稿里内层被积的东西写成了两个平方因子相乘再乘一个正弦——这是对的，它由两部分拼成。 第一部分来自被积函数本身：合并对称性之后要积的是三个坐标平方和，而它在球坐标里恰好就是距离的平方：
第二部分来自体积元。球坐标里的小块不是小方块，它的三条边分别是：沿距离方向的一小段、沿经线方向的一小段弧、沿纬线方向的一小段弧。 纬线那条弧所在的圆，半径不是距离本身，而是距离乘以极角的正弦，所以三条边是：
三条边相乘，就是体积元：
两部分乘起来，被积的东西就是距离的四次方再乘极角的正弦。这也解释了你的草稿为什么每一层都对得上： 距离的平方来自函数，另一个距离的平方乘正弦来自体积元。
单位球把三个坐标完全平等地看待，谁也不特殊，所以三个平方项在整个球上的积分一样大。要求的积分就是三者总和的三分之一：
三个坐标用距离和两个角表示，平方和随即塌缩成距离的平方：
距离被球面卡在 1，极角从正上方扫到正下方，方位角绕轴转满一圈：
函数的距离平方乘上体积元里的距离平方与正弦，得到距离的四次方：
三个变量互不纠缠，可以分开算：